Théorème de Bruck-Ryser-Chowla

Le théorème de Bruck-Ryser-Chowla est un énoncé combinatoire concernant certains plans en blocs qui formule des conditions nécessaires pour leur existence.

Le théorème a été démontré en 1949 dans le cas particulier des plans projectifs par Richard H. Bruck et Herbert John Ryser et généralisé en 1950 aux plans en blocs par Ryser et Sarvadaman Chowla.

Énoncé

Théorème de Bruck-Ryser-Chowla — S'il existe un plan en blocs symétrique de paramètres $(v,k,\lambda )$, alors

• si $v$ est pair, le nombre $k-\lambda$ est un carré parfait ;
• si $v$ est impair, l'équation diophantienne $x^{2}=(k-\lambda )y^{2}+(-1)^{(v-1)/2}\lambda z^{2}$ possède une solution non nulle $(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ .

Version faible : théorème de Bruck-Ryser

Dans le cas des plans projectifs finis, on a $v=q^{2}+q+1,k=q+1,\lambda =1$, et le théorème se formule comme suit :

Théorème de Bruck-Ryser — S'il existe un plan projectif d'ordre $q$ pour $q\equiv 1{\bmod {4}}$ ou $q\equiv 2{\bmod {4}}$, alors $q$ est la somme de deux carrés (éventuellement nuls).

Un plan projectif fini d'ordre $q$ est le cas particulier d'un plan en blocs symétrique avec les paramètres

$v=q^{2}+q+1,k=q+1,\lambda =1$.

Conséquences et exemples

• La condition arithmétique du théorème de Bruck-Ryser implique qu'il n'existe pas de plan d'ordre 6 ou 14, mais il n'exclut pas l'existence de plans d'ordre $10=2^{4}+2=3^{2}+1^{2}$ ni d'ordre $12\equiv 0{\bmod {4}}$. On a démontré par des calculs numériques intensifs qu'il n'existe pas de plan projectif d'ordre 10 ; ceci illustre le fait que les conditions du théorème ne sont pas suffisantes pour assurer l'existence de plans en blocs.
• Les ordres $q=5=4+1,9=9+0,13=9+4$ satisfont les conditions pour l'existence de plans projectifs. Un autre argument qui assure leur existence est que ce sont des puissances de nombres premiers.
• Pour $q=27\equiv 3{\bmod {4}}$, le théorème ne dit rien. Comme 27 est une puissance d'un nombre premier, il existe un plan projectif de cet ordre.

Ordres exclus

Les nombres qui, par le théorème de Bruck et Ryser ne peuvent pas être les ordres d'un plan projectif, sont les entiers $n\in \mathbb {N}$ avec $n\equiv 1,2{\bmod {4}}$ qui ne sont pas somme de deux carrés. ils forment la suite A046712 de l'OEIS : 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, ...

Bibliographie

Articles

• Richard H. Bruck et Herbert John Ryser, « The nonexistence of certain finite projective planes », Canadian Journal of Mathematics, Canadian Mathematical Society, vol. 1,‎ 1949, p. 88–93 (DOI 10.4153/CJM-1949-009-2, lire en ligne)
• Sarvadaman Chowla et Herbert John Ryser, « Combinatorial problems », Canadian Journal of Mathematics, Canadian Mathematical Society, vol. 2,‎ 1950, p. 93–99
• (en) Clement W. H. Lam, « The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 », The American Mathematical Monthly, vol. 98, n^o 4,‎ 1991, p. 305–318 (lire en ligne).

• Roger Guérin, « Vue d'ensemble sur les plans en blocs incomplets équilibrés et partiellement équilibrés », Revue de l'Institut International de Statistique, vol. 33, n^o 1,‎ 1965, p. 24-58 (JSTOR https://www.jstor.org/stable/1401306, MR 180497, zbMATH 137.37404).
• Bernard Monjardet, « Combinatoire et algèbre », Mathématiques et sciences humaines, t. 23,‎ 1968, p. 37-50 (lire en ligne, consulté le 20 décembre 2017).

Manuels

• Jeffrey H. Dinitz et Douglas Robert Stinson, chap. 1 « A Brief Introduction to Design Theory », dans Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys, New York, Wiley, 1992 (ISBN 0-471-53141-3), p. 1–12
• Jacobus van Lint et Richard M. Wilson, A Course in Combinatorics, Cambridge, Cambridge University Press, 2001, 2^e éd. (ISBN 0-521-80340-3)
• (en) Jiří Matoušek et Jaroslav Nešetřil, Invitation to Discrete Mathematics, New York, Oxford University Press, 1998, 410 p. (ISBN 978-0-19-850207-4) — Traduit en français par Delphine Hachez : Introduction aux mathématiques discrètes, Springer-Verlag, 2004, (ISBN 978-2-287-20010-6).
• (de) Albrecht Beutelspacher, Einführung in die endliche Geometrie I, Mannheim, BI Wissenschaftséditeur, 1983, 2^e éd., 176–185 p. (ISBN 3-411-01632-9)

Notes et références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Bruck-Ryser-Chowla » (voir la liste des auteurs).

Articles liés

• Plan en blocs
• Design combinatoire

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Bruck–Ryser–Chowla Theorem », sur MathWorld
• Block design sur l'Encyclopædia of Mathematics